[表示圆的几种方程式]圆的方程

圆的方程组

课堂教学最终目标

（1）掌控圆的国际标准方程组，能依照圆周座标和直径熟练写下圆的国际标准方程组，也能依照圆的国际标准方程组熟练写下圆的圆周座标和直径．

（2）掌控圆的一般方程组，介绍圆的一般方程组的同质性，熟练掌控圆的国际标准方程组和一般方程组间的互化．

（3）介绍模块方程组的基本概念，认知圆的模块方程组，能展开圆的一般方程组与模块方程组间的互化，能应用领域圆的模块方程组化解相关的单纯难题．

（4）掌控直角和圆的边线亲密关系，会求圆的圆周．

（5）更进一步认知抛物线方程组的基本概念、熟识求抛物线方程组的方式．

课堂教学提议

教科书预测

（1）层次结构

（2）重点项目、症结预测

①此栏文本课堂教学的重点项目是圆的国际标准方程组、一般方程组、模块方程组的推论，依照前提求圆的方程组，用圆的方程组化解相关难题．

②此栏的症结是圆的一般方程组的同质性，和圆方程组的解和应用领域．

密宗提议

（1）圆是最单纯的抛物线．这节教科书安排在学习了抛物线方程组基本概念和求抛物线方程组之后，学习三大圆锥抛物线之前，旨在熟识抛物线和方程组的理论，为后继学习做好准备．同时，相关圆的难题，特别是直角与圆的边线亲密关系难题，也是解析几何中的基本难题，这些难题的化解为圆锥抛物线难题的化解提供了基本的思想方式．因此课堂教学中应加强练习，使学生确实掌控这一单元的知识和方式．

（2）在化解相关圆的难题的过程中多次用到配方式、待定系数法等思想方式，课堂教学中应多总结．

（3）化解相关圆的难题，要经常用到一元二次方程组的理论、平面几何知识和前边学过的解析几何的基本知识，教师在课堂教学中要注意多复习、多运用，培养学生运算能力和简化运算过程的意识．

（4）相关圆的文本非常丰富，有很多有价值的难题．提议适当选择一些文本供学生研究．例如由过圆上一点的圆周方程组引申到切点弦方程组就是一个很有价值的难题．类似的还有圆系方程组等难题．

课堂教学设计示例

圆的一般方程组

课堂教学最终目标：

（1）掌控圆的一般方程组及其特点．

（2）能将圆的一般方程组转化为圆的国际标准方程组，从而求出圆周和直径．

（3）能用待定系数法，由已知前提求出圆的一般方程组．

（4）通过此栏课学习，更进一步掌控配方式和待定系数法．

课堂教学重点项目：（1）用配方式，把圆的一般方程组转化成国际标准方程组，求出圆周和直径．

（2）用待定系数法求圆的方程组．

课堂教学症结：圆的一般方程组特点的研究．

课堂教学用具：计算机．

课堂教学方式：启发引导法，讨论法．

课堂教学过程（www.fwsir.com）：

【引入】

前边已经学过了圆的国际标准方程组

把它展开得

任何圆的方程组都可以通过展开化成形如

①

的方程组

【难题1】

形如①的方程组的抛物线是否都是圆？

师生共同讨论预测：

如果①则表示圆，那么它一定是某个圆的国际标准方程组展开整理得到的．我们把它再写成原来的形式不就可以看出来了吗？运用配方式，得

②

显然②是不是圆方程组与 是什么样的数密切相关，具体如下：

（1）当 时，②则表示以 为圆周、以 为直径的圆；

（2）当 时，②则表示一个点 ；

（3）当 时，②不则表示任何抛物线．

总结：任意形如①的方程组可能则表示一个圆，也可能则表示一个点，还有可能什么也不则表示．

圆的一般方程组的`定义：

当 时，①则表示以 为圆周、以 为直径的圆，

此时①称作圆的一般方程组．

即称形如 的方程组为圆的一般方程组．

【难题2】圆的一般方程组的特点，与圆的国际标准方程组的异同．

（1） 和 的系数相同，都不为0．

（2）没有形如 的二次项．

圆的一般方程组与一般的二元二次方程组

③

相比较，上述（1）、（2）两个前提仅是③则表示圆的必要前提，而不是充分前提或充要前提．

圆的一般方程组与圆的国际标准方程组各有千秋：

（1）圆的国际标准方程组带有明显的几何的影子，圆周和直径一目了然．

（2）圆的一般方程组表现出明显的代数的形式与结构，更适合方程组理论的运用．

【实例预测】

例1：下列方程组各则表示什么图形．

（1） ；

（2） ；

（3） ．

学生演算并回答

（1）则表示点（0，0）；

（2）配方得 ，则表示以 为圆周，3为直径的圆；

（3）配方得 ，当 、 同时为0时，则表示原点（0，0）；当 、 不同时为0时，则表示以 为圆周， 为直径的圆．

例2：求过三点 ， ， 的圆的方程组，并求出圆周座标和直径．

预测：由于学习了圆的国际标准方程组和圆的一般方程组，那么本题既可以用国际标准方程组解，也可以用一般方程组解．

解：设圆的方程组为

因为 、 、 三点在圆上，则有

解得： ， ，

所求圆的方程组为

可化为

圆周为 ，直径为5．

请同学们再用国际标准方程组解，比较两种解法的区别．

【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：

（1）求圆的方程组多用待定系数法．其步骤为：由题意设方程组（国际标准方程组或一般方程组）；依照前提列出关于待定系数的方程组组；解方程组组求出系数，写下方程组．

（2）如何选用圆的国际标准方程组和圆的一般方程组．一般地，易求圆周和直径时，选用国际标准方程组；如果给出圆上已知点，可选用一般方程组．

下面再看一个难题：

例3： 经过点 作圆 的割线，交圆 于 、 两点，求线段 的中点 的轨迹．

解：圆 的方程组可化为 ，其圆周为 ，直径为2．设 是轨迹上任意一点．

∵

∴

即

化简得

点 在抛物线上，并且抛物线为圆 内部的一段圆弧．

【练习巩固】

（1）方程组 则表示的抛物线是以 为圆周，4为直径的圆．求 、 、 的值．（结果为4，－6，－3）

（2）求经过三点 、 、 的圆的方程组．

预测：用圆的一般方程组，代入点的座标，解方程组组得圆的方程组为 ．

（3）课本第79页练习1，2．

【小结】师生共同总结：

（1）圆的一般方程组及其特点．

（2）用配方式化圆的一般方程组为圆的国际标准方程组，求圆周座标和直径．

（3）用待定系数法求圆的方程组．

【作业】课本第82页5，6，7，8．

【板书设计】

【圆的方程组】相关文章：

圆的国际标准方程组08-02

圆的方程组教案08-02

数学教案－圆的方程组08-02

圆和圆的边线亲密关系08-02

圆和圆的边线亲密关系 教案08-02

圆08-02

圆的认识08-02

圆的周长08-02

方程组的意义08-02